Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AD= 2a. SA vuông góc với mặt đáy và

A. -2

B. - 4

C. 3

D. 2

Trả lời

Gọi F là trung điểm của BC. Gọi E là giao điểm của MF và AB

$\begin{array}{l}\Rightarrow BE=\frac{1}{3}AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\\ MF//BD\Rightarrow BD//\left(SMF\right)\text{ nên }\\ d(SM,BD)=d(BD,(SMF\left)\right)=d(B,(SMF\left)\right).\\ \frac{d(B,(SMF\left)\right)}{d(A,(SMF\left)\right)}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow d(B,(SMF\left)\right)=\frac{d(A,(SMF\left)\right)}{3}.\end{array}$

Ta kẻ $AH\perp ME,H\in ME$, mặt khác $ME\perp SA\Rightarrow ME\perp \left(SAH\right)$.

Ta kẻ $AI\perp SH,I\in SH.ME\perp \left(SAH\right),AI\subset \left(SAH\right)\Rightarrow AI\perp ME$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AI\perp SH\\ AI\perp ME\\ SH,ME\subset \left(SME\right)\\ SH\cap ME=H\end{array}\Rightarrow AI\perp \left(SME\right)\Rightarrow d(A,(SMF\left)\right)=AI\right.$

Ta có ABCD là hình chữ nhật

$AB=a,AD=2a\Rightarrow BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{5}\text{. }$

Ta có $\frac{AH}{AE}=\cos \widehat{EAH}=\sin \widehat{ABD}=\frac{AD}{BD}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$\Rightarrow AH=\frac{2}{\sqrt{5}}AE=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3}{\sqrt{5}}$,

$\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{5}{9a^2}=\frac{8}{9a^2}\Rightarrow AI=\frac{3a}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}a}{4}$

Vậy $d(SM,BD)=\frac{d(A,(SMF\left)\right)}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$. Suy ra $x-y=2-4=-2$

Chọn A