Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC

Ta có: CD ^ AD; CD ^ SA

Suy ra CD ^ (SAD) hay CD ^ AP

Lại có: SC ^ AP (do SC ⊥ (α)); CD ⊥ AP

Suy ra AP ⊥ (SCD) ⇒ AP ⊥ CP ⇒ ΔAPC vuông tại P

⇒ OA = OC = OP

Tương tự, ta có: ΔAMC vuông tại M 

⇒ OA = OC = OM

Lại có: SC ⊥ AN (do SC ⊥ (α))

Khi đó ΔANC vuông tại N nên OA = OC = ON

⇒ OA = OC = OP = OM = ON

Þ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Bán kính của khối cầu là: $R=OA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=2$.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: 
$V=\frac{4\pi }{3}\cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$.

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là $\frac{32\pi }{3}$.