Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD.

Theo đề bài ta có $\text{SH}\perp \left(\text{ABCD}\right)$.

$\Delta \text{HAD}$ vuông tại A có $\text{HD}=\sqrt{{\text{AH}}^2+{\text{AD}}^2}=\sqrt{\frac{{\text{a}}^2}{4}+{\text{a}}^2}=\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}$.

$\Delta \text{SHD}$ vuông tại H có $\text{SH}=\sqrt{{\text{SD}}^2-{\text{HD}}^2}=\sqrt{\frac{9{\text{a}}^2}{4}-\frac{5{\text{a}}^2}{4}}=\text{a}$.

Dựng $\text{HK}\perp \text{BD},(\text{K}\in \text{BD})$.

Có $\text{BD}\perp \text{HK}$ và $\text{BD}\perp \text{SH}\Rightarrow \text{BD}\perp \left(\text{SHK}\right)$ mà $\text{BD}\subset \left(\text{SBD}\right)\Rightarrow \left(\text{SBD}\right)\perp \left(\text{SHK}\right)$ hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK, dựng $\text{HI}\perp \text{SK},(\text{I}\in \text{SK})\Rightarrow \text{HI}\perp \left(\text{SBD}\right)$.

Vậy $\text{d}(\text{H},(\text{SBD}\left)\right)=\text{HI}$.

Ta có $\text{HK}=\frac{1}{2}\text{AO}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{4}$, trong $\Delta \text{SHK}$ có $\frac{1}{{\text{HI}}^2}=\frac{1}{{\text{HK}}^2}+\frac{1}{{\text{HS}}^2}=\frac{8}{{\text{a}}^2}+\frac{1}{{\text{a}}^2}=\frac{9}{{\text{a}}^2}\Rightarrow \text{HI}=\frac{\text{a}}{3}$.

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp (SBD) tại B có:

$\frac{\text{d}(\text{A},(\text{SBD}\left)\right)}{\text{d}(\text{H},(\text{SBD}\left)\right)}=\frac{\text{AB}}{\text{HB}}=2\Rightarrow \text{d}(\text{A},(\text{SBD}\left)\right)=2 \text{d}(\text{H},(\text{SBD}\left)\right)=\frac{2\text{a}}{3}\text{. }$