Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AC = 2a, $BD=2a\sqrt{3}$, $SO\perp \left(ABCD\right)$. Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

Kẻ $OH\perp BC$ tại $H,OK\perp SH$ tại K

$\Rightarrow OK\perp \left(SBC\right)\Rightarrow d(O;(SBC\left)\right)=OK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\text{. }$

Tam giác OBC vuông tại O có:

$\text{Ot }=\frac{OB\cdot OC}{\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SO=\frac{OK\cdot OH}{\sqrt{O{H}^2-O{K}^2}}=\frac{a}{2}\text{. }$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.