Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABD.

⇒ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AH = \frac{2}{3}.AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}}\\{HI = \frac{1}{3}.AI = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}\\{SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}}\end{array}} \right.$

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD. Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

⇒ $\left( {\widehat {\left( {SBD} \right);\,\,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SI;\,\,AI}} \right) = \widehat {SIH}.$

Trong tam giác vuông SHI, có $\tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \sqrt 5 .$