Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a. Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằn

Trả lời

Đáp án: 60

Diện tích hình thang

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD(AB+CD)=\frac{1}{2}2a.3a=3a^2,CB=AC=a\sqrt{5}$

Độ dài đường cao $\text{SI}=\frac{3 {\text{V}}_{\text{S.ABCD}}}{{\text{S}}_{\text{ABCD}}}=\frac{3.\frac{3\sqrt{15}{\text{a}}^3}{5}}{3{\text{a}}^2}=\frac{3\sqrt{15}\text{a}}{5}$.

Vẽ $\text{IH}\perp \text{CB}$ tại $\text{H}\Rightarrow \text{BC}\perp \left(\text{SIH}\right)\Rightarrow \text{BC}\perp \text{SH}$.

Ta có $\left(\widehat{\left(\text{SBC}\right),\left(\text{ABCD}\right)}\right)=\left(\widehat{\text{IH},\text{SH}}\right)=\widehat{\text{SHI}}$.

$\begin{array}{l}{S}_{ICB}=S_{ABCD}-S_{IDC}-S_{AIB}=3a^2-\frac{a^2}{2}-a^2=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow IH.CB=3a^2\\ \Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{5},\tan \widehat{SHI}=\frac{SI}{IH}=\frac{3a\sqrt{15}}{5}:\frac{3a\sqrt{5}}{5}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{\text{SHI}}={60}^{°}\text{.}\end{array}$