Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{1}{3}\).

C. \(\frac{1}{4}\).

D. \(\frac{2}{3}\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (SBD), SO cắt MN tại J.

Trong mặt phẳng (SAC), AJ cắt SC tại K. 

Vì J thuộc MN nên J thuộc mặt phẳng (AMN) nên K thuộc AJ thì K thuộc mặt phẳng (AMN). Do đó K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC.

Tam giác SBD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MN // BD hay NJ // DO. Xét tam giác SDO có NJ // DO và N là trung điểm của SD nên suy ra J là trung điểm của SO.

Trong mặt phẳng (SAC), từ O kẻ OE song song với AK (E thuộc SC).

Xét tam giác SOE có JK // OE (do AK // OE), theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{SK}}{{SE}} = \frac{{SJ}}{{SO}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, K là trung điểm của SE.

Xét tam giác CAK có OE // AK, theo định lí Thalés ta có: \(\frac{{CE}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}\). Do đó, E là trung điểm của CK.

Vậy SK = KE = CE, suy ra \(\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).