Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với hai mặt phẳng (ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Ta có ABCD là nửa lục giác đều suy ra AD = DC = CB = a
Dựng đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Trong (ABCD) dựng AH ^ CD tại H suy ra CD ^ (SAH)
Trong (SAH) dựng AP ^ SH Þ CD ^ AP Þ AP ^ (SCD)
Tiếp tục dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Trong (SAC) dựng đường AQ ^ SC
Vì BC ^ AC, BC ^ SA Þ BC ^ (SAC) Þ BC ^ AQ
Þ AQ ^ SBC)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc lần lượt với hai mặt phẳng là AP và AQ.
Ta có: ∆SAC vuông cân tại A suy ra \(AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Mặt khác ∆AQP vuông tại O suy ra
\(\cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {PAQ} = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).