Đặt SA = a, AB = b, AC = c.

Khi đó $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60°\cdot a=\frac{abc\sqrt{3}}{12}$.

Theo đề bài, $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin 60°=3\sqrt{3}\Rightarrow bc=12$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB hay tam giác SAB vuông tại A.

Khi đó $S_{SAB}=\frac{ab}{2}=9\Rightarrow ab=18$.

Do SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Khi đó  $S_{SAC}=\frac{ac}{2}=12\Rightarrow ac=24$.

Do đó (abc)² = 12 × 18 × 24 = 72², suy ra abc = 72.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{72\sqrt{3}}{12}=6\sqrt{3}$