Gọi I là giao điểm của AM và SO.

Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng.

Lại có $\frac{SF}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow SF=\frac{2}{3}SD$

$\begin{array}{l}\Rightarrow SF.SD=\frac{2}{3}S{D}^2=\frac{2}{3}\left(S{A}^2+A{D}^2\right)=2a^2\\ \Rightarrow SF.SD=S{A}^2.\end{array}$

Xét tam giác vuông SAD có $SF.SD=S{A}^2\Rightarrow AF$ là đường cao tam giác $AF\perp SF.$

Chứng minh tương tự ta có $AE\perp SB.$

Tam giác $SA=AC=a\sqrt{2}$ nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác $AM\perp SC.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AM\perp SM\\ AF\perp SF\\ AE\perp SE\end{array}\right.$ nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính bằng $\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$