Ta có $\left(ABCD\right)//\left(MNPQ\right).$ Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD.$

Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$ Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.

Ta có $SA=SB=SC=SD=2a$

$AB=BC=CD=DA=a\sqrt{2}.$

Lại có $SH=\frac{3}{4}SA=\frac{3}{4}.2a=\frac{3a}{2}\Rightarrow HA=\frac{1}{4}SA=\frac{a}{2}.$

$\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AO=a\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=a\sqrt{3}.$

Mặt khác $\Delta SHI\backsim \Delta SOA\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{HI}{OA}=\frac{SH}{SO}\Rightarrow HI=\frac{OA.SH}{SO}=\frac{a.\frac{3a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$