Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F, cắt AB tại K.
a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC

Hay AK // IC

Ta có AI ⊥ BD và CK ⊥ BD

Suy ra AI // CK

Xét tứ giác AKCI có AI // CK, AK // CI

Suy ra AKCI là hình bình hành

Vậy AKCI là hình bình hành.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD

Vì AB // CD nên \(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (hai góc so le trong)

Xét ΔABE và ΔCDF có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {CFD}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = CD (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (chứng minh trên)

Suy ra ΔABE = ΔCDF (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AF = CF (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AECF có AE // CF, AF = CF

Nên AECF là hình bình hành

Suy ra AF // CE

Vậy AF // CE.

c) Gọi giao điểm của AC và KI là O

Vì AKCI là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, KI

Vì AECF là hình bình hành, O là trung điểm của AC

Nên O là trung điểm của EF

Suy ra AC, EF và KI đồng quy tại O

Vậy ba đường thẳng AC, EF và KI đồng quy tại một điểm.