Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}\left(C\right)$. Tìm m để (C) cắt d: y = x + m tại hai điểm phân biệt a, b sao cho tam giác OAB vuông tại A hoặc B.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$$\begin{gathered} x+m-\frac{2x-1}{x-1}=0 \\ \iff x^2+x\left(m-3\right)+\left(1-m\right)=0\left(1\right) \end{gathered}$$

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau ở hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

<=> ∆ = (m − 3)² − 4(1 − m) > 0

<=> (m − 1)² + 4 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Khi đó x₁, x₂ là hai nghiệm của phương tình trên thì A(x₁; x₁ + m) và B(x₂; x₂ + m) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Không mất tính tổng quát, giả sử tam giác OAB vuông tại A.

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}=0$

=> x₁(x₂ − x₁) + (x₂ − x₁)(x₁ + m) = 0

$\Rightarrow 2x_1+m=0\Rightarrow x_1=\frac{-m}{2}$

Áp dụng định lí Vi-ét:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3-m\\ x_1{x}_2=1-m\end{array}\right.\Rightarrow x_2=3-m-x_1=\frac{1-m}{x_1}$

$\iff 3-\frac{m}{2}=\frac{2\left(m-1\right)}{m}\Rightarrow m=1\pm \sqrt{5}$ (thỏa mãn)

Vậy $m=1\pm \sqrt{5}$