Cho hàm số y = x³ + 3x² + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;5) và B là giao điểm thứ hai của d với (C). Tính diện tích tam giác OAB?

Hàm số y = x³ + 3x² + 1

Xét đạo hàm: y′ = 3x² + 6x

⇒ y′(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;5) là:

y = 9(x − 1) + 5 = 9x – 4 ⇔ 9x – y – 4 = 0 (d) hay y = 9x – 4

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x³ + 3x² + 1 = 9x – 4

Û x³ + 3x² – 9x + 5 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-5\\ x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}y=-49\\ y=5\end{array}\right.$

Do đó giao điểm thứ hai của d với (C) là B(–5; –49).

$AB=\sqrt{{(-5-1)}^2+{(-49-5)}^2}=6\sqrt{82}$

$d(O;AB)=d(O;d)=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{9^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{82}}$

$\Rightarrow S_{OAB}=\frac{1}{2}d(O;d).AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{82}}\cdot 6\sqrt{82}=12$

Vậy $S_{OAB}=12$.