Cho hàm số: y = x³ − 3mx² + 9x + 1, có đồ thị (Cm), với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (dm): y = x + 10 − 3m cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, B, C. Gọi k₁, k₂, k₃ là hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị của m để k₁ + k₂ + k₃ > 15.

y = x³ − 3mx² + 9x + 1 => y' = 3x² − 6mx + 9.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng (dm) là:

x³ − 3mx² + 9x + 1 = x + 10 − 3m

<=> x³ − 3mx² + 8x + 3m − 9 = 0

<=> (x³ + 8x − 9) − (3mx² − 3m) = 0

<=> (x − 1)(x² + x + 9) − 3m(x − 1)(x + 1) = 0

<=> (x − 1)[x² + (1 − 3m)x + 9 − 3m] = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2+\left(1-3m\right)x+9-3m=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Cho A là điểm có hoành độ x₁ = 1.

Suy ra hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A là k₁ = 3.1² − 6m.1 + 9 = 12 − 6m

Để (Cm) cắt đường thẳng (dm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(1-3m\right)}^2-4\left(9-3m\right)>0\\ 1^2+\left(1-3m\right).1+9-3m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}9m^2+6m-35>0\\ 11-6m\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>\frac{5}{3}\\ m<-\frac{7}{3}\end{array}\right.\\ m\ne \frac{11}{6}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>\frac{5}{3}\\ m\ne \frac{11}{6}\end{array}\right.\\ m<-\frac{7}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hoành độ của B và C là hai nghiệm của phương trình (*) với theo Vi-ét:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=3m-1\\ x_2{x}_3=9-3m\end{array}\right.$

Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại B, C lần lượt là:

k₂ = 3x₂² − 6mx₂ + 9 và k₃ = 3x₃² − 6mx₃ + 9

Để k₁ + k₂ + k₃ > 15

<=> (12 − 6m) + (3x₂² − 6mx₂ + 9) + (3x₃² − 6mx₃ + 9) > 15

<=> 3(x₂² + x₃²) − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

<=> 3[(x₂ + x₃)² − 2x₂x₃] − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

<=> 3[(3m − 1)² − 2(9 − 3m)] − 6m(3m − 1) + 30 − 6m > 15

<=> 3(9m² − 6m + 1 − 18 + 6m) − 18m² + 6m + 30 − 6m > 15

<=> 9m² > 36 Û m² > 4

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-2\end{array}\right.$

Kết hợp các điều kiện của m suy ra $m\in \left(-\infty ;-\frac{7}{3}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$