Cho hàm số $y=mx+3\left(d_1\right)$ và $y=-\frac{x}{m}+3\left(d_2\right)$. Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂, B và C lần lượt là giao của d₁ và d₂, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

• Vì A là giao điểm của d₁ và d₂ nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

$$\begin{gathered} mx+3=-\frac{x}{m}+3\iff mx=-\frac{x}{m} \\ \iff mx+\frac{x}{m}=0\iff x\left(m+\frac{1}{m}\right)=0 \\ \Rightarrow x=0 \end{gathered}$$

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d₁ và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0$\iff x=-\frac{3}{m}$

Khi đó, tọa độ của điểm B là $B\left(-\frac{3}{m};0\right)$

• Vì C là giao điểm của d₂ và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

$-\frac{x}{m}+3=0\iff x=3m$

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d₁ là m và hệ số góc của d₂ là $-\frac{1}{m}$ có $m.\left(-\frac{1}{m}\right)=-1$ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là $\frac{1}{2}AB.AC$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(-\frac{3}{m}\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{\frac{1}{m^2}+1}=3\sqrt{\frac{1+m^2}{m^2}};$

$AC=\sqrt{{\left(3m\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{m^2+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{\frac{1+m^2}{m^2}}\cdot 3\sqrt{m^2+1}=\frac{9\left(m^2+1\right)}{2\left|m\right|}=\frac{9}{2}\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)$

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương $\left|m\right|$ và $\frac{1}{\left|m\right|}$ ta có:

$\frac{1}{2}AB.AC=\frac{9}{2}\left(\left|m\right|+\frac{1}{\left|m\right|}\right)\ge \frac{9}{2}\cdot 2\sqrt{\left|m\right|\cdot \frac{1}{\left|m\right|}}=9$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left|m\right|=\frac{1}{\left|m\right|}$

$\iff m^2=1\iff m=\pm 1$

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.