Cho hàm số y = (m – 2)x + 5. Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng là 1.

Trả lời

Lời giải

Gọi (d): y = (m – 2)x + 5.

Thế x = 0 vào phương trình (d), ta được y = 5.

Suy ra đồ thị (1) luôn đi qua điểm A(0; 5).

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục Ox: (m – 2)x + 5 = 0.

\( \Leftrightarrow x = - \frac{5}{{m - 2}}\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\).

Suy ra giao điểm của (d) và trục Ox là điểm \(B\left( { - \frac{5}{{m - 2}};0} \right)\).

Ta có \(OA = 5,\,OB = \left| { - \frac{5}{{m - 2}}} \right|\).

Kẻ OH ⊥ AB tại H.

Tam giác ABO vuông tại O có OH là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{25}} + \frac{{{m^2} - 4m + 4}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{{m^2} - 4m + 5}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{25}}{{{m^2} - 4m + 5}}\)

Suy ra \(OH = \frac{5}{{\sqrt {{m^2} - 4m + 5} }}\).

Theo đề, ta có khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng 1.

Suy ra OH = 1.

\( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt {{m^2} - 4m + 5} }} = 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 4m + 5} = 5\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 5 = 25\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 2 \pm 2\sqrt 6 \) (nhận).

Vậy \(m = 2 \pm 2\sqrt 6 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.