Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Đặt g(x) = f(f(x) - 1). Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0.

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right).f^{\text{'}}\left(f\right(x)-1)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(f\right(x)-1)=0\end{array}\right.$

+) Với $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=a\in (-1;0)\\ x=1\\ x=b\in (1;2)\end{array}\right.$

+) Với $f^{\text{'}}\left(f\right(x)-1)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)-1=a\in (-1;0)\\ f\left(x\right)-1=1\\ f\left(x\right)-1=b\in (1;2)\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=a+1\in (0;1)\\ f\left(x\right)=2\\ f\left(x\right)=b+1\in (2;3)\end{array}\right.\right.$

Từ đồ thị hàm số f(x) ta có:

- Phương trình (1) có 2 nghiệm.

- Phương trình (2) có 2 nghiệm không trùng với 2 nghiệm của phương trình (1).

- Phương trình (3) có 2 nghiệm không trùng với 2 nghiệm của phương trình (1) và 2 nghiệm của phương trình (2).