Cho hàm số y = f(x) = 4x² – 4mx + m² – 2m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho min(x) = 3 trên [–2; 0].

Hàm số y = f(x) = 4x² – 4mx + m² – 2m có a = 4 > 0, $-\frac{b}{2\text{a}}=\frac{m}{2}$

• TH1: Nếu $\frac{m}{2}\le -2\iff m\le -4$

Thì f(x) đồng biến trên [–2; 0]

Suy ra f(x)_min = f(–2) = 4(–2)² – 4m . (–2) + m² – 2m = m² + 6m + 16 = 3

⇔ m² + 6m + 13 = 0

⇔ m² + 6m + 9 + 4 = 0

⇔ (m + 3)² + 4 = 0

Vì (m + 3)² ≥ 0 với mọi m

Nên (m + 3)² + 4 > 0 với mọi m

Suy ra phương trình m² + 6m + 13 = 0 vô nghiệm

• TH2: Nếu $\frac{m}{2}\ge 0\iff m\ge 0$

Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]

Suy ra f(x)_min = f(0) = 4(0)² – 4m . 0 + m² – 2m = m² – 2m = 3

⇔ m² – 2m – 3 = 0

⇔ m² + m – 3m – 3 = 0

⇔ m(m + 1) – 3(m + 1) = 0

⇔ (m + 1)(m – 3) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=3\end{array}\right.$

Mà m ≥ 0 nên m = 3

+) TH3: Nếu

Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]

Suy ra $f{\left(x\right)}_{\min }=f\left(\frac{m}{2}\right)=4{\left(\frac{m}{2}\right)}^2-4m\left(\frac{m}{2}\right)+m^2-2m=3$

⇔ – 2m = 3

⇔ $m=\frac{-3}{2}$  (thỏa mãn)

Vậy $m=\frac{-3}{2}$  hoặc m = 3.