Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn tích phân từ 0 đến 1/2 f(x)dx=3

Trả lời

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì:

$\left\{\begin{array}{l}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-b}{\overset{-a}{\int }}f\left(x\right)dx\end{array}\right.$

Xét  $\underset{\frac{1}{4}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)dx=10$

Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx  $\Rightarrow dx=\frac{dt}{2}$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=1\\ x=\frac{1}{4}\Rightarrow t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Suy ra  $\underset{\frac{1}{4}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{2}dt=10\Rightarrow \underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=20$

Xét  $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}\cos xf\left(\sin x\right)dx$

Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-1\end{array}\right.$

Ta có:  $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}\cos xf\left(\sin x\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt$

$=\underset{-1}{\overset{-\frac{1}{2}}{\int }}f\left(t\right)dt+\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(x\right)dx$

= 20 + 3 = 23

Vậy  $I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{0}{\int }}\cos xf\left(\sin x\right)dx=23$.