Cho hàm số y = (2m – 3).x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b) cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

c) cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox.

Lời giải

a) Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là A

Suy ra \(A\left( {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}};0} \right)\) nên OA = \(\left| {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}}} \right|\); (m ≠ \(\frac{3}{2}\))

Gọi giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là B

Suy ra B(0; m – 5) nên OB = \(\left| {m - 5} \right|\)

Ta có tam giác AOB vuông tại O.

Để tam giác AOB vuông cân tại O thì OA = OB

Hay \(\left| {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}}} \right|\) = \(\left| {m - 5} \right|\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{5 - m}}{{2m - 3}} = m - 5\\\frac{{5 - m}}{{2m - 3}} = 5 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 3 = - 1\\2m - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 2\\2m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

Suy ra giao điểm B(0; m – 5) của đồ thị hàm số đã cho và Oy thuộc đường thẳng y = 3x – 4

Nên m – 5 = 3.0 – 4

Hay m = 1

Vậy m = 1 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

c) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox

Suy ra giao điểm \(A\left( {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}};0} \right)\) của đồ thị hàm số đã cho và Ox thuộc đường thẳng \[y = --x--3\]

Nên \( - \frac{{5 - m}}{{2m - 3}} - 3 = 0\)

⇔ m – 5 = 3.(2m – 3)

⇔ m – 5 = 6m – 9

⇔ – 5m = – 4

\( \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}\)

Vậy \(m = \frac{4}{5}\) thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox.