Cho hàm số y =f(x) liên tục trên $[-1;2]$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tich các hình phẳng (K), (H) lần lượt là $\frac{5}{12}$ và $\frac{8}{3}$. Tính ${\int }_{-3}^{0}x{f}^{\text{'}}(x+2)dx$.

Ta có: $I={\int }_{-3}^{0}x{f}^{\text{'}}(x+2)dx={\int }_{-1}^2(x-2)f^{\text{'}}\left(x\right)dx\text{.}$Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x-2\\ dv=f^{\text{'}}\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.\right.$

$\Rightarrow I={\left.(x-2)f\left(x\right)\right|}_{-1}^2-{\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx=3f(-1)-\left(\frac{5}{12}-\frac{8}{3}\right)=\frac{9}{4}.$