Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm và đồng biến trên [1;4], thỏa mãn $\text{x}+2\text{xf}\left(\text{x}\right)={\left[{\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)\right]}^2$ với mọi $\text{x}\in [1;4]$. Biết rằng $\text{f}\left(1\right)=\frac{3}{2}$, tính tích phân $\text{I}={\int }_1^4\text{f}\left(\text{x}\right)\text{dx}$.

Từ giả thiết suy ra ${\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)\ge 0,\forall \text{x}\in [1;4]$ và $\text{f}\left(\text{x}\right)\ge \text{f}\left(1\right)>0,\forall \text{x}\in [1;4]$.

Ta có $x+2xf\left(x\right)={\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\iff x[1+2f(x\left)\right]={\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\iff \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}$.

Suy ra: $\int \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}dx=\int \sqrt{x}dx\iff \sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C.V1f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow 2=\frac{2}{3}+C\iff C=\frac{4}{3}$.

Do đó $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\right)}^2-1\right]$. Vậy $I={\int }_1^{4}f\left(x\right)dx={\int }_1^4\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\right)}^2-1\right]dx=\frac{1186}{45}$.