Cho hàm số f (x) liên tục trên R. Biết rằng tích phân từ 0 đến ln2 của f( e^x +1)dx=5

Trả lời

Đặt t = e^x + 1 Þ dt = e^x dx

$\Rightarrow \frac{dt}{t-1}=dx$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=2\\ x=\ln 2\Rightarrow t=3\end{array}\right.$

Khi đó:  $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}f\left(e^x+1\right)dx=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t-1}dt=5\Rightarrow \underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x-1}dx=5$

Suy ra  $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{\left(2x-3\right)f\left(x\right)}{x-1}dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x-1}dx=3+5$

$\iff \underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{\left(2x-2\right)f\left(x\right)}{x-1}dx=8$

$\iff \underset{2}{\overset{3}{\int }}2f\left(x\right)dx=8$

$\iff \underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=4$

Vậy  $I=\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=4$.