Cho hàm số có đồ thị (C) $y=\frac{2x+1}{x-1}$ và đường thẳng  d: y = x + m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B. Với C(−2; 5), giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là bao nhiêu?

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

$\frac{2x+1}{x-1}=x+m\left(m\ne 1\right)$

$\iff x^2+\left(m-3\right)x-m-1=0$ (1)

Khi đó cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

$\left\{\begin{array}{l}{\left(m-3\right)}^2+4\left(m+1\right)>0\\ 1^2+\left(m-3\right)-m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m+13>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.$(luôn đúng)

Gọi A(x₁; x₁ + m); B(x₂; x₂ + m) trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (1), theo Viet ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3-m\\ x_1{x}_2=-m-1\end{array}\right.$

Gọi $I\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{x_1+x_2+2m}{2}\right)$ là trung điểm của AB, suy ra $I\left(\frac{3-m}{2};\frac{3+m}{2}\right)$, nên

$$\begin{gathered} \overrightarrow{IC}=\left(-2-\frac{3-m}{2};5-\frac{3+m}{2}\right) \\ \Rightarrow CI=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(m-7\right)}^2+{\left(7-m\right)}^2} \end{gathered}$$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;x_2-x_1\right)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{2{\left(x_2-x_1\right)}^2}=\sqrt{2\left(m^2-2m+13\right)}$

Vậy tam giác ABC đều khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} CI=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\iff \frac{1}{2}\sqrt{2{\left(m-7\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2\left(m^2-2m+13\right)} \\ \iff {\left(m-7\right)}^2=3\left(m^2-2m+13\right) \end{gathered}$$

<=> 2m² + 8m − 10 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.$