Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + m − 1 (d)

a) Tìm m để hàm số đồng biến.

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại một điểm trên trục tung.

c) Cho m = 2 vẽ đường thẳng (d) và khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng (d).

Lời giải

a) y = (2m − 1)x + m − 1 (d)

Þ y' = 2m – 1.

Để hàm số đồng biến suy ra

2m − 1 > 0 \( \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\).

b) (d) cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại một điểm trên trục tung Þ x = 0 Þ y = 1.

Do đó giao điểm của (d) và đường thẳng y = 2x + 1 là A(0; 1)

Þ 1 = (2m − 1).0 + m − 1

Û m − 1 = 1 Û m = 2.

c) Với m = 2 ta có: (d): y = 3x + 1.

Cho x = 0 Þ y = 1. Suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 1)

Þ OA = 1.

Cho y = 0 Þ \(x = - \frac{1}{3}\). Suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( { - \frac{1}{3};\;0} \right)\).

Þ \(OA = \frac{1}{3}\).

Ta có đồ thị hàm số:

Gọi OH là đường cao của tam giác OAB vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}} = 10\)