Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x⁴[f (x − 1)]² là:

Ta có: f (x) = 4x⁴ − 8x² + 3 Þ f '(x) = 16x³ − 16x = 16x(x² − 1)

Ta có g '(x) = 2x³f (x − 1)[2f (x − 1) + xf '(x − 1)]

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}^3=0\left(1\right)\\ f\left(x-1\right)=0\left(2\right)\\ 2f\left(x-1\right)+x{f}^{\text{'}}\left(x-1\right)=0\left(3\right)\end{array}\right.$

Phương trình (1) có x = 0 (nghiệm bội ba).

Phương trình (2) có cùng số nghiệm với phương trình y = f (x) nên (2) có 4 nghiệm đơn.

Phương trình (3) có cùng số nghiệm với phương trình:

2f (x) + (x + 1)f '(x) = 0

<=> 2(4x⁴ − 8x² + 3) + 16x(x + 1)(x² − 1) = 0

<=> 24x⁴ + 16x³ − 32x² − 16x + 6 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Dễ thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số g (x) = 0 có tất cả 9 điểm cực trị.