Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là:

Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:   Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là: (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x 1)]4 là:

Trả lời

Ta có:

g(x) = x2[f (x 1)]4

=> g '(x) = 2x[f (x 1)]4 + 4x2f '(x − 1)[f (x 1)]3

<=> g '(x) = 2x[f (x 1)]3[f (x 1) + 2xf '(x − 1)] = 0

x=0fx1=0fx1+2xf'x1=0

Đặt t = x − 1 => x = t + 1

Xét phương trình f (x − 1) = 0 <=> f (t) = 0

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1 nên phương trình f (x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Xét phương trình f (x 1) + 2xf '(x − 1) = 0

=> f (t) + 2(t + 1)f '(t) = 0 (*)

Dựa vào BBT ta thấy:

f (x) là hàm bậc bốn trùng phương, đặt f (x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm (−1; 3), (0; −1), (1; 3) và có ba điểm cực trị x = 0, x = ±1 nên ta có:

c=1a+b+c=3f'1=0c=1a+b+c=34a+2b=0a=4b=8c=1

=> f (x) = −4x4 + 8x2 − 1 => f '(x) = −16x3 + 16x.

Thay vào (*) ta có:

−4t4 + 8t2 − 1 + 2(t + 1)( −16t3 + 16t) = 0

<=> −4t4 + 8t2 − 1 − 32t4 + 32t2 − 32t3 + 32t = 0

<=> −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 = 0

Xét hàm số h (t) = −36t4 − 32t3 + 40t2 + 32t − 1 ta có:

h '(t) = − 144t3 − 96t2 + 80t + 32

Ta có: h't=0t=23t=13t=1

Ta có BBT:

Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:   Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là: (ảnh 2)

Dựa vào BBT ta thấy phương trình h (t) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 1

=> Phương trình f (x − 1) − 2xf '(x − 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt khác 0.

Do đó, phương trình g '(x) = 0 có tất cả 9 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số g(x) = x2[f (x 1)]4 có tất cả 9 điểm cực trị.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả