Hướng dẫn giải

Ta có $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x(x+1)+y(y+1)}{(x+1)(y+1)}=\frac{{(x+y)}^2-2xy+1}{xy+x+y+1}=\frac{2-2xy}{2+xy}.$

Đặt $t=xy$  ta được $P=\frac{2-2t}{2+t}.$

Vì $x\ge 0;y\ge 0\Rightarrow t\ge 0.$

Mặt khác $1=x+y\ge 2\sqrt{xy}\iff xy\le \frac{1}{4}\Rightarrow t\le \frac{1}{4}.$

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(t\right)=\frac{2-2t}{2+t}$  trên $\left[0;\frac{1}{4}\right].$

Xét hàm số $g\left(t\right)=\frac{2-2t}{2+t}$  xác định và liên tục trên $\left[0;\frac{1}{4}\right].$

Ta có $g^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-6}{{(2+t)}^2}<0$  với $\forall t\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$

 $\Rightarrow$hàm số $g\left(t\right)$  nghịch biến trên đoạn $\left[0;\frac{1}{4}\right].$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}\underset{\left[0;\frac{1}{4}\right]}{\min }g\left(t\right)=g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3}\\ \underset{\left[0;\frac{1}{4}\right]}{\max }g\left(t\right)=g\left(0\right)=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\min P=\frac{2}{3}\\ \max P=1\end{array}\right.$ .

Chọn C.