Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x^2 + y^2 = 2. Gọi M, m

Trả lời

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\iff xy=\frac{t^2-2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P=2t\left(2-\frac{t^2-2}{2}\right)-3.\frac{t^2-2}{2},\left(t\in \left[-2;2\right]\right)$

 $=4t-t^3+2t-\frac{3}{2}{t}^2+3$

 $=-t^3-\frac{3}{2}{t}^2+6t+3=f\left(t\right)$

Xét hàm số  $f\left(t\right)=-t^3-\frac{3}{2}{t}^2+6t+3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{\text{'}}\left(t\right)=-3t^2-3t+6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\in \left[-2;2\right]\\ t=-2\in \left[-2;2\right]\end{array}\right.$

Ta tính được:  $f\left(-2\right)=-7;f\left(1\right)=\frac{13}{2};f\left(2\right)=1$

Suy ra  $\underset{\left[-2;2\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(1\right)=\frac{13}{2}=\max P$ và  $\underset{\left[-2;2\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(-2\right)=-7=\min P$

Vậy  $M+m=\frac{13}{2}+\left(-7\right)=\frac{-1}{2}$.