Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\log x+x(x+y)\ge \log (4-y)+4x$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\text{P}=8\text{x}+16\text{y}+\frac{1}{\text{x}}+\frac{147}{\text{y}}$ bằng bao nhiêu?

Điều kiện: y < 4

$\begin{array}{l}\log x+x^2+xy\ge \log (4-y)+4x\iff \log x+x^2\ge \log (4-y)+4x-xy\\ \iff 2\log x+x^2\ge \log (4-y)+\log x+x(4-y)\iff \log x^2+x^2\ge \log (4-y)x+x(4-y)\end{array}$

Xét hàm số $\text{f}\left(\text{t}\right)=\log \text{t}+\text{t}\forall \text{t}\in (0;+\infty )\Rightarrow {\text{f}}^{\text{'}}\left(\text{t}\right)=\frac{1}{\text{t.}\ln 10}+1>0\forall \text{t}\in (0;+\infty )$

$$\begin{gathered} \left(1\right)\Rightarrow f\left(x^2\right)=f\left(\right(4-y\left)\right(x\left)\right)\iff x=4-y\iff x+y=4 \\ P=8x+16y+\frac{1}{x}+\frac{147}{y}=4x+\frac{1}{x}+12y+\frac{147}{y}+4(x+y)\Rightarrow P\ge 2.\sqrt{4x.\frac{1}{x}}+2.\sqrt{12y.\frac{147}{y}}+4.4=104 \\ \Rightarrow {\text{P}}_{\min }=104\iff y=\frac{7}{2};x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$