Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh A = 8( a^4 + b^4) + 1/ab lớn hơn bằng 5)

Trả lời

Lời giải

Ta có: a + b = 1 ⇔ a² + b² + 2ab = 1.

Mà a² + b² – 2ab ≥ 0 nên ${a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}$

$\Rightarrow {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} \ge \frac{1}{4}$

Mà a⁴ – 2a²b² + b⁴ ≥ 0

$\Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}$      (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\Rightarrow ab \le \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4$      (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra $A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 1 + 4 = 5$ (đpcm).