Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh A = 8( a^4 + b^4) + 1/ab lớn hơn bằng 5)
Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh \(A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 5\).
Lời giải
Ta có: a + b = 1 ⇔ a2 + b2 + 2ab = 1.
Mà a2 + b2 – 2ab ≥ 0 nên \({a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} \ge \frac{1}{4}\)
Mà a4 – 2a2b2 + b4 ≥ 0
\( \Rightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge \frac{1}{4}\)
\( \Rightarrow {a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}\) (*)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
\( \Rightarrow ab \le \frac{{a + b}}{4} = \frac{1}{4}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4\) (**)
Cộng vế với vế của (*) và (**) suy ra \(A = 8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) + \frac{1}{{ab}} \ge 1 + 4 = 5\) (đpcm).