Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.

Chứng minh a³ + b³ + ab \( \ge \frac{1}{2}\).

Ta có: a³ + b³ + ab = (a + b)³ – 3ab(a + b) + ab

= 1 – 3ab + ab (do a + b = 1)

= 1 – 2ab = 1 – 2a( 1 – a)

= 2a² – 2a + 1 =\(2\left( {{a^2} - a + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2}\)

\( = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\).

Vậy \({a^3} + {b^3} + ab \ge \frac{1}{2}\) (đpcm).