Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right), \left(S_2\right)$ có cùng tâm I và bán kính lần lượt là 2 và $\sqrt{10}.$ Các điểm A, B thay đổi thuộc $\left(S_1\right)$ còn C, D thay đổi thuộc $\left(S_2\right)$ sao cho có tứ diện ABCD. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng.

Gọi R₁, R₂ lần lượt là bán kính của các mặt cầu $\left(S_1\right)$ và $\left(S_2\right)\Rightarrow R_1=2;R_2=\sqrt{10}.$

Gọi K là trung điểm của CD và h là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Ta $CD=2CK,AB\le 2R_1=4,\sin \left(AB,CD\right)\le 1.$

Thể tích khối tứ diện ABCD là $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.CD.\sin \left(AB,CD\right).d\left(AB,CD\right)\le \frac{1}{6}\mathrm{.4.}CD.h$

                                                                $\stackrel{Co-si}{\le }\frac{4}{3}\sqrt{h^2+C{K}^2}\le \frac{4}{3}\sqrt{I{K}^2+C{K}^2}.$

Xét $△$ICK vuông tại K có $I{K}^2+C{K}^2=C{I}^2=R_2^2.$

Khi đó $V_{ABCD}\le \frac{4}{3}{R}_2=\frac{4}{3}\sqrt{10}.$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}AB\perp CD\\ AB=4\\ h=IK=CK=\sqrt{5}\end{array}\right.$