Cho hai điểm A(3; –5), B(1; 0).

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Lời giải

Gọi C(x_C; y_C).

Ta có \(\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C}} \right),\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;5} \right)\).

Suy ra \( - 3\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 15} \right)\).

Ta có \[\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \].

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 6\\{y_C} = - 15\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ C(6; –15).

b) Gọi D(x_D; y_D).

Ta có điểm D đối xứng của A qua C.

Suy ra C là trung điểm AD.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}\\{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = \frac{{3 + {x_D}}}{2}\\ - 15 = \frac{{ - 5 + {y_D}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 9\\{y_D} = - 25\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ D(9; –25).

c) Gọi M(x_M; y_M).

Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {3 - {x_M}; - 5 - {y_M}} \right),\,\overrightarrow {MB} = \left( {1 - {x_M}; - {y_M}} \right)\).

Theo đề, ta có M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - 3\overrightarrow {MB} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_M} = - 3\left( {1 - {x_M}} \right)\\ - 5 - {y_M} = - 3\left( { - {y_M}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_M} = 6\\4{y_M} = - 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{3}{2}\\{y_M} = - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)