Cho f (x) liên tục trên ℝ và f (2) = 16, tích phân từ 0 đến 1 cùa f(2x)dx=2

Trả lời

Xét  $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx=2$

Đặt  $2x=t\iff 2dx=dt\iff dx=\frac{dt}{2}$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=1\Rightarrow t=2\end{array}\right.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{2}dt=2\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4$

Đặt  $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f^{\text{'}}\left(x\right)dx\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.x.f\left(x\right)\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

= 2f (2) − 4 = 2.16 − 4 = 28

Vậy  $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=28$.