Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia OH ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.

a) Chứng minh HA = HC và $\widehat {DCO} = 90^\circ$

b) Chứng minh DH . DO = DE . DB

c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc AD ở K. KF cắt BC ở M. Chứng minh MK = MF.

Lời giải

a) Vì A, C cùng thuộc (O), OH ⊥ AC

Nên H là trung điểm của AC (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra AH = HC

Vì OA = OC nên tam giác AOC cân tại O

Mà OH là đường cao

Suy ra OH là phân giác của góc AOC

Do đó $\widehat {AOH} = \widehat {HOC}$

Xét tam giác DAO và tam giác DCO có

DO là cạnh chung

$\widehat {AOD} = \widehat {DOC}$ (chứng minh trên)

OA = OC

Do đó △DAO = △DCO (c.g.c)

Suy ra $\widehat {DAO} = \widehat {DCO}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {DAO} = 90^\circ$ (vì DA là tiếp tuyến của (O))

Nên $\widehat {DCO} = 90^\circ$

b) Xét tam giác ADO vuông tại A có AH ⊥ DO

Nên DH . DO = AD²                                        (1)

Vì E thuộc đường tròn (O) đường kính AB

Nên tam giác ABE vuông tại E

Suy ra AE ⊥ BE

Xét tam giác ADB vuông tại A có AE ⊥ DB

Nên DE . DB = AD²                                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra DH . DO = DE . DB

c) Gọi P là giao điểm của AM và DO, Q là giao điểm của AD và EP

Xét tam giác ABM có OP // BM, OA = OB

Suy ra P là trung điểm của AM

Xét tam giác AMF có

P là trung điểm của AM, E là trung điểm của AF

Suy ra PE là đường trung bình

Do đó PE // MF

Mà MF ⊥ AD, AB ⊥ AD

Suy ra PE // KF // AB

Xét tam giác AKF có EA = EF, QE // FK

Suy ra Q là trung điểm của AK

Xét tam giác ADB có $\frac{{PQ}}{{AO}} = \frac{{DP}}{{DO}} = \frac{{PE}}{{OB}}$

Mà AO = BO nên PQ = PE

Xét tam giác AKF có $\frac{{PQ}}{{KM}} = \frac{{PE}}{{MF}}\left( { = \frac{{AP}}{{AM}}} \right)$

Suy ra KM = MF