Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 8 cm và một điểm A có khoảng cách OA = 16 cm. Một đường kính BC quay xung quanh tâm O (đường thẳng BC không đi qua A). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh ∆OAB và ∆OCD đồng dạng.

b) Tính OD, suy ra D là điểm cố định khi đường kính BC quay xung quanh điểm O.

c) Giả sử AB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F và gọi P là giao điểm của EF với OA. Chứng minh bốn điểm C, F, D, P cùng nằm trên một đường tròn. Có nhận xét gì về bốn điểm B, E, D, P?

Lời giải

a) Xét ∆OAB và ∆OCD, có:

$\widehat {CBA} = \widehat {CDA}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn  của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC);

$\widehat {AOB} = \widehat {COD}$ (đối đỉnh).

Do đó  (g.g).

b) Ta có  (chứng minh câu a).

Suy ra $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}$.

$\Leftrightarrow \frac{{16}}{8} = \frac{8}{{OD}}$.

$\Leftrightarrow OD = \frac{{8.8}}{{16}} = 4$ (cm).

Ta có $OD = \frac{{OB.OC}}{{OA}} = \frac{{{R^2}}}{{OA}}$.

Mà R cố định và OA cố định.

Nên D là điểm cố định khi đường kính BC quay xung quanh điểm O.

c) Ta có tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn (O).

Suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {EFA}$.

Mà $\widehat {EBC} = \widehat {ADC}$ (chứng minh trên).

Do đó $\widehat {ADC} = \widehat {EFA}$.

Vì vậy bốn điểm C, F, D, P cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh tương tự, ta được bốn điểm B, E, D, P cùng nằm trên một đường tròn.