a) So sánh $\widehat {ACI}$ và $\widehat {ABD}$

Ta có: $\widehat {ACI} + \widehat {ACD} = 180^\circ$ (2 góc kề bù) (1)

Xét (O) có: $\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp chắn cung AD

$\widehat {ACD}$ là góc nội tiếp chắn cung AD

Suy ra: $\widehat {ABD} + \widehat {ABD} = \frac{1}{2}.360^\circ = 180^\circ$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {ACI} = \widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {ACD}$

* So sánh $\widehat {CAI}$ và $\widehat {CDB\;}$

Ta có: $\widehat {CAI} + \widehat {BAC} = 180^\circ$ (2 góc kề bù) (1)

Xét (O) có: $\widehat {BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung AD

$\widehat {CDB}$ là góc nội tiếp chắn cung AD

Suy ra: $\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = \frac{1}{2}.360^\circ = 180^\circ$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {CAI} = \widehat {CDB} = 180^\circ - \widehat {BAC}$

b) Xét hai tam giác ΔIAC và ΔIDB có:

$\widehat A$chung

$\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$(câu a)

Suy ra: ΔIAC ∽ ΔIDB (g.g).

c) Theo câu b có ΔIAC ∽ ΔIDB.

Suy ra: $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IB}}$ hay IA.IB = IC.ID (đpcm).