Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

a) Chứng minh: AMON là hình thoi.

b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn.

c) Tính diện tích AMON.

Lời giải

a) ) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B

Suy ra AB ⊥ OB

Mà ON ⊥ OB

Nên AB // ON

Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC

Xét (O; R) có AC là 2 tiếp tuyến tại điểm C

Suy ra AC ⊥ OC

Mà OM ⊥ OC

Nên AC // OM

Xét tứ giác AMON có AM // ON và AN // OM (chứng minh trên)

Suy ra AMON là hình bình hành

Mà AO là tia phân giác của góc MAN

Suy ra AMON là hình thoi

b) Gọi I là trung điểm của OA

Suy ra $IA = IO = \frac{1}{2}OA = \frac{{2R}}{2} = R$.

Do đó OI là bán kính của (O)

Mà AMON là hình thoi

Nên OA vuông góc MN tại điểm I

Hay OI vuông góc MN tại điểm I

Xét (O; R) có OI là bán kính của (O), OI vuông góc MN tại điểm I

Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O­)

c) Vì AMON là hình thoi, AO cắt MN tại I

Nên I là trung điểm của MN
suy ra MN = 2 IN

Xét tam giác OAB vuông ở B có sin$\widehat {OAB} = \frac{{OB}}{{AO}} = \frac{R}{{2{\rm{R}}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\widehat {OAB}$ = 30°

Vì AB // ON nên $\widehat {OAB} = \widehat {ION}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat {OAB}$ = 30°

Suy ra $\widehat {ION} = 30^\circ$

Xét tam giác OIN vuông ở I có $\tan \widehat {ION} = \frac{{IN}}{{OI}}$

Hay $\tan 30^\circ = \frac{{IN}}{R}$

Suy ra $IN = \frac{R}{{\sqrt 3 }}$

Mà MN = 2IN (chứng minh trên)

Do đó $MN = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}$

Diện tích hình thoi AMON bằng: $\frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2{R^2}}}{{\sqrt 3 }}$.