Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của (O), lấy điểm C. Gọi E là giao điểm của CB với (O). từ O kẻ đường thẳng song song với AE cắt BC tại M.
a) Chứng minh CA2 = CE. CB
b) Chứng minh bốn điểm A; C; O; M cùng thuộc 1 đường tròn
a) Vì CA là tiếp tuyến của (O) nên AC ⊥ AB
Lại có: \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AE ⊥ CB
Xét trong tam giác CAB vuông tại A có AE là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
CA2 = CE . CB (đpcm)
b) Ta có: AC ⊥ AB (vì AC là tiếp tuyến đường tròn (O)
⇒ ΔCAO vuông tại A
⇒ Ba điểm A;C;O cùng thuộc đường tròn đường kính OC (1)
Vì OM // AE
AE ⊥ CB
⇒ OM ⊥ BC
⇒ ΔOMC vuông tại M
⇒ Ba điểm O; C; M cùng thuộc đường tròn đường kính OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Bốn điểm A; C; M; O cùng thuộc một đường tròn (đpcm)