Lời giải
a) Ta có ^AQB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra ^AQM=90∘.
Do đó ba điểm A, Q, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (*)
Ta có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MC.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
Lại có OA = OC = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó MO ⊥ AC tại I và I là trung điểm AC.
Suy ra ^AIM=90∘.
Khi đó ba điểm A, I, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (**)
Từ (*), (**), suy ra tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tam giác OIC vuông tại I: ^IOC+^ICO=90∘ (3)
Ta có ^ACB=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra ^OCB+^ICO=90∘ (4)
Từ (3), (4), suy ra ^IOC=^OCB.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy MO // BC.
c) Ta có tứ giác AIQM nội tiếp (chứng minh trên).
Suy ra ^QIC=^AMQ (5)
Lại có AM // CH (cùng vuông góc với AB).
Suy ra ^AMQ=^HNB (cặp góc đồng vị) (6)
Ta có ^HNB=^QNC (cặp góc đối đỉnh) (7)
Từ (5), (6), (7), suy ra ^QIC=^QNC.
Do đó tứ giác QINC nội tiếp được.
Suy ra ^CIN=^CQN (cùng chắn ).
Mà ^CAB=^CQN (cùng chắn của đường tròn (O)).
Do đó ^CIN=^CAB.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Suy ra IN // AH.
Mà I là trung điểm AC (chứng minh trên).
Khi đó N là trung điểm CH.
Suy ra CHCN=2.
Vậy tỉ số CHCN không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
