Lời giải
a) Ta có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {AQM} = 90^\circ \).
Do đó ba điểm A, Q, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (*)
Ta có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MC.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
Lại có OA = OC = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó MO ⊥ AC tại I và I là trung điểm AC.
Suy ra \(\widehat {AIM} = 90^\circ \).
Khi đó ba điểm A, I, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (**)
Từ (*), (**), suy ra tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tam giác OIC vuông tại I: \(\widehat {IOC} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (3)
Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {OCB} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (4)
Từ (3), (4), suy ra \(\widehat {IOC} = \widehat {OCB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy MO // BC.
c) Ta có tứ giác AIQM nội tiếp (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {AMQ}\) (5)
Lại có AM // CH (cùng vuông góc với AB).
Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {HNB}\) (cặp góc đồng vị) (6)
Ta có \(\widehat {HNB} = \widehat {QNC}\) (cặp góc đối đỉnh) (7)
Từ (5), (6), (7), suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {QNC}\).
Do đó tứ giác QINC nội tiếp được.
Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn ).
Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn của đường tròn (O)).
Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Suy ra IN // AH.
Mà I là trung điểm AC (chứng minh trên).
Khi đó N là trung điểm CH.
Suy ra \(\frac{{CH}}{{CN}} = 2\).
Vậy tỉ số \(\frac{{CH}}{{CN}}\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
