Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA ⊥ MN.

b) Vẽ đường kính NC. Chứng minh rằng MC // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của ∆AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.

Lời giải

a) Ta có: AN = AM (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra ∆AMN cân tại A

Mặt khác, OA là tia phân giác cũng là đường cao

Do đó OA ⊥ MN (đpcm).

b) Đặt H là giao điểm của MN và AO.

Ta có MH = HN (OA ⊥ MN nên H là trung điểm MN).

Mà CO = CN = R.

Suy ra OH là đường trung bình của ∆MNC.

Do đó OH // MC hay MC // OA (đpcm).

c) Ta có OM = ON = R nên ON = 3 cm.

Ta có: ON² + AN² = AO² (theo định lý Py-ta-go)

Suy ra AN² = AO² – ON² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16 

⇒ AN = \[\sqrt {16} \] = 4 (cm)

Ta có: AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra 5HN = 4 . 3 = 12 ⇒ HN = \[\frac{{12}}{5}\] = 2,4 (cm).

Ta có MN = 2HN = 2 . 2,4 = 4,8 (vì H là trung điểm MN).

Vậy AM = AN = 4 cm; MN = 4,8 cm.