Cho đồ thị (d): y = (3m − 2)x + m − 2 với m là tham số

a) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua mọi giá trị của m

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến d lớn nhất

a) Gọi M(x; y) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua

Ta có M(x; y) thuộc (d) nên

y = (3m − 2)x + m − 2

Û 3mx − 2x + m − 2 − y = 0

Û m(3x + 1) − (2x + y + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{{ - 1}}{3};\;\frac{2}{3}} \right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của m.

b) (d): y = (3m − 2)x + m − 2

Û (3m − 2)x − y + m − 2 = 0

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là:

\(d = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3m - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt {9{m^2} - 12m + 5} }}\)

Vậy để d lớn nhất thì m = 1 và khi đó \(d = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)