Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thoả mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a.

Tính giá trị của biểu thứcA = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Lời giải

Ta có: a² – 2b = c² – 2a

⇔ a² – c² = 2b – 2a

⇔ (a – c)(a + c) = 2(b – a)

$\Leftrightarrow a + c = \frac{{2\left( {b - a} \right)}}{{a - c}}$

$\Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{{2\left( {b - a} \right)}}{{a - c}} + 2$

$\Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{{2\left( {b - a} \right)}}{{a - c}} + 2$

$\Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{{2\left( {b - a} \right) + 2\left( {a - c} \right)}}{{a - c}}$

$\Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{{2b - 2a + 2a - 2c}}{{a - c}}$

$\Leftrightarrow a + c + 2 = \frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{a - c}}$

Chứng minh tương tự ta có:

$a + b + 2 = \frac{{2\left( {a - c} \right)}}{{a - b}}$ và $b + c + 2 = \frac{{2\left( {b - a} \right)}}{{b - c}}$

Suy ra A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2)

               $= \frac{{2\left( {a - c} \right)}}{{a - b}}.\frac{{2\left( {b - a} \right)}}{{b - c}}.\frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{a - c}} = - 8$

Vậy A = – 8.