Cho biểu thức $P=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$  với $x^2+y^2\ne 0$ . Giá trị nhỏ nhất của P bằng

Hướng dẫn giải

• Nếu $y=0$  thì P =1. (1)
• Nếu $y\ne 0$  thì $P=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+\left(\frac{x}{y}\right)+1}{{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-\left(\frac{x}{y}\right)+1}.$

Đặt $t=\frac{x}{y}$ , khi đó $P=f\left(t\right)=\frac{t^2+t+1}{t^2-t+1}.$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-2t^2+2}{{(t^2-t+1)}^2}=0\iff -2t^2+2=0\iff t=\pm 1.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $P=f\left(t\right)\ge \frac{1}{3}.$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P=f\left(t\right)\ge \frac{1}{3}\Rightarrow \min P=\frac{1}{3}$  .

Chọn B.