Cho biểu thức ${\rm{P = }}\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - 1$ với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Rút gọn P

b) Tìm tất cả các số nguyên x để P là một số nguyên.

Lời giải

a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có

${\rm{P = }}\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - 1$

${\rm{P = }}\frac{{\sqrt x + 1 - (\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{x - 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}$

${\rm{P = }}\frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{x - 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}$

${\rm{P = }}\frac{{2 - x + 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}$

${\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}}$

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì ${\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}}$.

b) Ta có

${\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}} = \frac{{ - x + 1 + 2}}{{x - 1}} = - 1 + \frac{2}{{x - 1}}$

Để P là một số nguyên thì $\frac{2}{{x - 1}}$ đạt giá trị nguyên

Suy ra x – 1 ∈ Ư(2)

Hay x – 1 ∈ {1; 2; – 1; – 2}

Với x – 1 = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)

Với x – 1 = 2 thì x = 3 (thỏa mãn)

Với x – 1 = – 1 thì x = 0 (thỏa mãn)

Với x – 1 = – 2 thì x = – 1 (thỏa mãn)