Cho biểu thức \({\rm{P = }}\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - 1\) với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên x để P là một số nguyên.
Lời giải
a) Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
\({\rm{P = }}\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - 1\)
\({\rm{P = }}\frac{{\sqrt x + 1 - (\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{x - 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}\)
\({\rm{P = }}\frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}} - \frac{{x - 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}\)
\({\rm{P = }}\frac{{2 - x + 1}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}}\)
\({\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}}\)
Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì \({\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}}\).
b) Ta có
\({\rm{P = }}\frac{{3 - x}}{{x - 1}} = \frac{{ - x + 1 + 2}}{{x - 1}} = - 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)
Để P là một số nguyên thì \(\frac{2}{{x - 1}}\) đạt giá trị nguyên
Suy ra x – 1 ∈ Ư(2)
Hay x – 1 ∈ {1; 2; – 1; – 2}
Với x – 1 = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)
Với x – 1 = 2 thì x = 3 (thỏa mãn)
Với x – 1 = – 1 thì x = 0 (thỏa mãn)
Với x – 1 = – 2 thì x = – 1 (thỏa mãn)
Vậy x ∈ {3; 2; – 1; 0} thì P là một số nguyên.