Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ và $B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}$.

Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên nhỏ nhất.

Lời giải

Ta có $P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}$.

Để P có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$.

$\Rightarrow \sqrt x + 1 \in$ Ư(5).

Ta có bảng sau:

Với x = 0, ta có $P = 1 + \frac{5}{{\sqrt 0 + 1}} = 6$.

Với x = 16, ta có $P = 1 + \frac{5}{{\sqrt {16} + 1}} = 2$.

Vậy P có giá trị nguyên nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 16.