Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}\).
Đặt P = A.B. Tìm x hữu tỉ để P có giá trị nguyên nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\).
Để P có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\).
\( \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \) Ư(5).
Ta có bảng sau:
|
\(\sqrt x + 1\) |
–5 |
–1 |
1 |
5 |
|
x |
Vô nghiệm |
Vô nghiệm |
0 |
16 |
Với x = 0, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt 0 + 1}} = 6\).
Với x = 16, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt {16} + 1}} = 2\).
Vậy P có giá trị nguyên nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 16.