Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\).

a) Tìm ĐKXĐ.

b) Rút gọn biểu thức.

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A đạt giá trị nhỏ nhất.

a) ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a - \sqrt a \ne 0\\a + \sqrt a \ne 0\\a - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \ne 0\\a \ne 1\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\a \ne 2\end{array} \right.\).

b) \(A = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\).

\( = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right]:\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\( = \left( {\frac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} - \frac{{a - \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\( = \frac{{\left( {a + \sqrt a + 1} \right) - \left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }}:\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\( = \frac{{a + \sqrt a + 1 - a + \sqrt a - 1}}{{\sqrt a }}:\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\( = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }}:\frac{{a + 2}}{{a - 2}}\)

\( = 2:\frac{{a + 2}}{{a - 2}} = \frac{{2a - 4}}{{a + 2}}\).

c) Ta có: \(A = \frac{{2a - 4}}{{a + 2}} = \frac{{2a + 4 - 8}}{{a + 2}} = 2 - \frac{8}{{a + 2}}\).

Để A đạt GTNN thì \(\frac{8}{{a + 2}}\) đạt GTLN.

Khi đó a + 2 đạt GTNN hay a nhỏ nhất.

Mà a là số nguyên nên kết hợp điều kiện xác định suy ra a = 3.

Khi đó GTNN của A là \({A_{\min }} = 2 - \frac{8}{{3 + 2}} = \frac{2}{5}\).