Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}$.

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm giá trị của x để $A = \frac{3}{2}$.

Lời giải

a) $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}$

$= \frac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}$

$= \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{4}$

$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

b) Ta có $A = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{3}{2}$ (1)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right.$   (*)

Phương trình (1) tương đương với: $2\left( {\sqrt x + 2} \right) = 3\left( {\sqrt x - 2} \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt x = 10$

⇔ x = 100.

So với điều kiện (*), ta nhận x = 100.

Vậy khi x = 100 thì $A = \frac{3}{2}$.