Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}\).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm giá trị của x để \(A = \frac{3}{2}\).

Lời giải

a) \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.{\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{2}} \right)^2}\)

\( = \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{4}\)

\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).

b) Ta có \[A = \frac{3}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{3}{2}\) (1)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right.\)   (*)

Phương trình (1) tương đương với: \(2\left( {\sqrt x + 2} \right) = 3\left( {\sqrt x - 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 10\)

⇔ x = 100.

So với điều kiện (*), ta nhận x = 100.

Vậy khi x = 100 thì \(A = \frac{3}{2}\).